二つの配列X,Yを使って、Xに無相関なY-aXを得る方法 と マッチドフィルタの関係

マッチドフィルタを使っててふと疑問に思って計算してみたら面白い関係が見えたのでメモ

マッチドフィルタは重み付き移動平均と思ってもらえればまぁ、合ってます。式としては

てな感じでWeightに検出したい波形を入れておいて、その波形が入っている具合をOUTとして出力します。

これの中身について考えるとの部分はもしもWeightもINも平均が0となる信号なら共分散を求めている事になるんですよね。つまりWeightとINの相関性を観ている。

てな感じで大学の授業で聞き流す程度のフィルタなんだけれども。ふと、おとーちゃん思ったのですよ。相関性を観るのは分かった、相関性部分を抽出したとして、相関性のないノイズ部分ってどれくらいあるのだろう？

単純にはINからWeightをある程度の量引けば無相関になるはずです。平均が0だと仮定したときの分散の式はINをY、WeightをＸとして、Y-aXとXの相関（分散）がゼロになるaを求めると

これを解くと以下のような簡単な式、つまりXの分散と、XYの共分散の比になります。

これでめでたく無相関化された配列を取得する事ができました。

これでめでたしめでたしなのですが。。。。

XYの共分散ってのはマッチドフィルタそのものですね。Xの分散はフィルタに固有の定数値です。

なのでマッチドフィルタってのは、それぞれの窓で切り出したとして、その時その関数を無相関化するのに必要な係数aをプロットしたとも見えるんですね。

そういう風に解釈して観ると、マッチドフィルタなんていうちんけなフィルタが実は奥深いこと考えて設計されたんじゃねぇのか？と見えたり見えなかったり。

さ、本当の所最初にマッチドフィルタを考えた人はどうやって思いついたんでしょう。

そういった遙か昔に思いを馳せるのも楽しいもんです。